#74 l’enigma dei tre interruttori e l’enigma dei prigionieri nella sabbia

Oggi vi propongo del divertimento sfrenato per il vostro sabato sera: due appassionanti indovinelli di logica. For real party people only.

incandescentbulb

L’enigma della lampadina e dei tre interruttori

In una prima stanza, c’è una normale lampadina. Nella seconda stanza, ci sono tre interruttori. Solo uno dei tre interruttori accende la lampadina.
La prima stanza non è assolutamente visibile dalla seconda stanza (niente spiraglio di luce sotto la porta o cose simili).

Puoi azionare i tre interruttori a tuo piacimento, ma puoi andare nella prima stanza soltanto una volta per verificare lo stato della lampadina. Come puoi individuare l’interruttore in grado di accenderla?

Le condizioni iniziali sono:
• lampadina spenta
• tutti gli interruttori in posizione off.

Soluzione:

Per prima cosa, possiamo mettere due interruttori su on, lasciando il terzo su off. Ora, se la lampadina fosse ancora spenta, sapremmo subito che l’interruttore giusto è il terzo. Se invece fosse accesa, potremmo escludere il terzo interruttore, ma non potremmo distinguere tra i primi due.
La soluzione consiste nell’accendere due interruttori (diciamo i numeri 1 e 2), attendere qualche minuto e poi spegnere uno dei due (diciamo il numero 2). Ora possiamo andare a controllare la lampadina.
Se l’interruttore giusto fosse il numero 2, come potremmo determinare che la lampadina, ora spenta, prima è stata accesa? Risposta: le lampadine accese si scaldano.

Quindi:
• la lampadina è accesa: l’interruttore giusto è il numero 1 (l’unico interruttore che è rimasto acceso).
• la lampadina è spenta, ma calda: l’interruttore giusto è il numero 2 (l’interruttore che è stato acceso e poi spento).
• la lampadina è spenta e fredda: l’interruttore giusto è il numero 3 (l’unico interruttore che è sempre rimasto spento).

Una vignetta che non c'entra niente ma è simpatica.
Una vignetta che non c’entra niente ma è simpatica.

L’enigma dei prigionieri nella sabbia

Quattro uomini sono stati catturati e sepolti nella sabbia fino al mento, in modo che sporga solo la testa. Sono disposti in fila, uno davanti all’altro, e il quarto è separato rispetto agli altri da un muro. Non possono muoversi, né voltarsi per vedere alle proprie spalle: possono guardare solo dritto davanti a sé. Come nel disegno qui sotto, sono tutti girati in direzione della freccia: quindi il prigioniero A vede B e C, B vede C, C vede solo il muro e D non vede nessuno.
Inoltre, comunicare tra loro è proibito.

Il carceriere mette un cappello sulla testa di ciascun prigioniero e spiega: “Ognuno di voi quattro indossa un cappello. Due di essi sono bianchi, due sono neri.
Se uno di voi sa dirmi qual è il colore del proprio cappello, verrete tutti liberati. Se chi parla dà la risposta sbagliata, verrete tutti giustiziati.”

La domanda è: quale dei prigionieri può trovare la risposta giusta, e perché?

prigionieri

Ulteriori chiarimenti e indizi:

• Ovviamente i prigionieri non sono in grado di vedere il proprio cappello, e non hanno visto i cappelli mentre il carceriere glieli metteva in testa. Inoltre non possono vedere oltre il muro.
• I prigionieri non possono parlare tra loro, non possono dire né chiedere niente al carceriere. È concesso aprire bocca soltanto per dare la risposta.
• Bisogna assumere che i prigionieri siano persone razionali, di normale intelligenza, lucidi, e privi di istinti suicidi.
• Siccome la risposta sbagliata condurrebbe alla morte tutti e quattro, nessun prigioniero parla se non è sicuro al 100% che la risposta sia giusta.
• Esiste un modo, per uno dei prigionieri, di determinare con certezza quale sia il colore del proprio cappello.

Soluzione:

Il prigioniero A può vedere due cappelli davanti a sé: uno nero e uno bianco. Di conseguenza A non può determinare il proprio colore, perché ha il 50% di probabilità di avere il restante cappello nero e 50 di avere quello bianco (in questo senso, si trova nella stessa condizione di C e D).
Il prigioniero B sa che A, alle proprie spalle, può vedere i cappelli B e C. Sa che A potrebbe facilmente dedurre il colore del proprio cappello, per esclusione, se vedesse davanti a sé due cappelli dello stesso colore. Ma se A non dice niente, significa che non conosce la risposta perché vede due cappelli di colore diverso. Dal silenzio di A, B può dedurre che il colore del proprio cappello è l’opposto di quello di C.

Il prigioniero oltre il muro è in realtà irrilevante per la risoluzione del problema: il suo unico scopo è indossare il quarto cappello.

In un’altra versione dell’enigma, non vengono mostrati i colori dei cappelli, e la domanda è: indipendentemente da come il carceriere ha disposto i capelli, in che modo i prigionieri possono trovare la soluzione giusta e quindi essere liberi? La risposta è semplicemente che il prigioniero A può capire il proprio colore se vede due cappelli uguali davanti a sé; in caso contrario A rimane in silenzio e di conseguenza B può capire che il suo colore è diverso da quello di C.

Questo enigma ha una pagina nella Wikipedia inglese in cui vengono illustrate anche diverse varianti.

Siete riusciti a risolverli? Conoscete altri appassionanti indovinelli di logica? Odiate gli indovinelli di logica? Fatemi sapere.

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12 pensieri riguardo “#74 l’enigma dei tre interruttori e l’enigma dei prigionieri nella sabbia

  1. Li odio e la storia dell’ultimo indovinello mi ha fatto solo venire in mente l’allegoria della caverna di Platone. Trovo la filosofia molto più interessante della logica. Saluti e baci 🙂

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        1. Lo ammetto, anch’io ho qualche difficoltà ad andare d’accordo con la filosofia. E con i professori di filosofia. E con gli studenti di filosofia. Ma sto divagando. Prometto per il futuro indovinelli di logica in abbondanza per te, Fannes! E magari anche un pochino di filosofia per Laura 🙂

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  2. Uh, mi piacciono, ma sono un disastro (forse si dice tonta, ma va be’). Viva la rubrica di logica della Wellen!
    Fossi in te, però, per evitare che gente come la sottoscritta non ci provi neanche, metterei le soluzioni in fondo al post, magari coperte da qualche widget che permetta di celare il contenuto a meno che uno ci clicchi proprio sopra. Sarei più incentivata a spremermi i neuroni 😀

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    1. Hai ragione sulle soluzioni! Ho provato a cercare un modo per nasconderle ma non sono stata capace! Accetto consigli informatici 🙂 altrimenti aspetterò una settimana per pubblicare un post separato con le soluzioni 🙂

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