#76 raymond smullyan, cavalieri e furfanti

Dopo il grande successo (?) dell’enigma dei tre interruttori e l’enigma dei prigionieri nella sabbia, continuo con i wellen-enigmi, e vi presento Raymond Smullyan:

Raymond Smullyan
Raymond Smullyan

Raymond Smullyan è un matematico, logico, pianista, filosofo taoista e prestigiatore statunitense.
Nato a New York nel 1919, iniziò a suonare il pianoforte a tre anni. Presto sua madre si accorse che il figlio aveva l’orecchio assoluto. Anni dopo, fu costretto ad abbandonare lo strumento a causa di una grave tendinite al braccio destro: “ciò però gli permise di approfondire i suoi studi di matematica”. Mentre faceva il college, “si sostentava economicamente grazie alla sua attività di prestigiatore”.

Ha scritto cose molto importanti sul teorema d’incompletezza di Gödel, ed è autore di molti libri di matematica e logica ricreativa, il più noto dei quali si intitola Qual è il titolo di questo libro?.

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Cavalieri e furfanti

Una tipologia celebre di indovinelli logici di Raymond Smullyan ha come ambientazione un’isola immaginaria in cui tutti gli abitanti sono o cavalieri (Knights), che dicono sempre la verità, o furfanti (Knaves), che mentono sempre. Gli enigmi contengono un visitatore che incontra piccoli gruppi di abitanti, e deve dedurre dalle loro affermazioni se si tratta di cavalieri o furfanti (cioè di che “tipo” sono), oppure deve dedurre altri fatti o formulare domande per scoprire determinate informazioni.

Un primo esempio di questo tipo di indovinelli coinvolge tre abitanti: A, B e C. Il visitatore chiede ad A di che tipo sia, ma A borbotta qualcosa che il visitatore non riesce a capire.
B allora dice: «A ha detto di essere un furfante».
Il terzo uomo, C, dice: «Non credere a B: sta mentendo!»
Che cosa sono A, B e C?

Una tristissima vignetta della Settimana Enigmistica al solo scopo di guadagnare tempo prima della soluzione.
Una tristissima vignetta della Settimana Enigmistica al solo scopo di guadagnare tempo prima della soluzione.

Soluzione


Per arrivare alla soluzione, si può considerare prima di tutto che nessun abitante dell’isola può affermare di essere un furfante (se fosse un furfante, mentirebbe e non ammetterebbe mai di esserlo; se invece fosse un cavaliere non potrebbe mai mentire affermando di essere un furfante). Quindi A non può avere detto di essere un furfante: l’affermazione di B è falsa, di conseguenza B è un furfante, mentre C ha detto la verità e allora C è un cavaliere. A ha sicuramente detto di essere un cavaliere, ma in questo caso ci è impossibile stabilire se dicesse la verità o no.
(Questa cosa ricorda molto il paradosso del mentitore, di cui avevo parlato qui.)
È utile tenere presente anche che due affermazioni contraddittorie non possono essere entrambe vere, né entrambe false.

Di seguito cinque esempi di questo tipo di indovinelli: in ogni enigma ci sono due o tre persone, ognuna delle quali può essere o un cavaliere o un furfante.
Metto le soluzioni in fondo al post (sono molto schematiche: se volete ulteriori spiegazioni, o vi sembrano sbagliate, o volete dare inizio a un vivace dibattito, scrivete pure un commento qui sotto oppure una mail a wellentheorie chiocciola gmail punto com).

1
Ci sono due persone, A e B.
A dice: «Almeno uno di noi è un furfante».
Cosa sono A e B?

2
Ci sono tre persone, A, B, C.
A e B fanno le seguenti affermazioni:
A: «Siamo tutti furfanti».
B: «Solo uno di noi è un cavaliere».
Cosa sono A, B e C?

3
Ci sono tre persone, A, B, C.
A: «B è un furfante».
B: «A e C sono dello stesso tipo».
Cos’è C?

4
Ancora tre persone, A, B e C.
A dice: «B e C sono dello stesso tipo».
Qualcuno allora chiede a C: «A e B sono dello stesso tipo?»
Cosa risponde C?

5
Visitiate l’isola dei cavalieri e dei furfanti. Vi imbattete in due abitanti.
Voi chiedete a uno di essi se l’altro è un cavaliere e ricevete come risposta un sì o un no.
Poi chiedete al secondo se il primo è un cavaliere e di nuovo ottenete come risposta un sì o un no.
Le due risposte sono necessariamente uguali?

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Soluzioni

1
A = cavaliere
B = furfante

2
A = furfante
B = cavaliere
C = furfante

3
C è un furfante.
Riguardo A e B, le possibilità sono due: A è un cavaliere e B è un furfante, oppure viceversa A è un furfante e B è un cavaliere. È impossibile stabilire quale delle due affermazioni sia vera e quale falsa. In ogni caso, C è un furfante.

4
C risponde sicuramente “sì”.
Riguardo a quale “tipo” appartengano A, B e C, ci sono quattro possibilità:

A = cavaliere
B = cavaliere
C = cavaliere

A = cavaliere
B = furfante
C = furfante

A = furfante
B = cavaliere
C = furfante

A = furfante
B = furfante
C = cavaliere

5
Sì, le due risposte saranno uguali.
Se i due abitanti sono entrambi cavalieri, o se sono entrambi furfanti, risponderanno entrambi “sì”.
Se il primo è un cavaliere e il secondo è un furfante, o viceversa il primo è un furfante e il secondo è un cavaliere, risponderanno entrambi “no”.

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