L’esistenza del passato e la creazione del giovedì

Stavo facendo ricerca sui viaggi nel tempo, e specialmente sui viaggi nel passato, quando mi sono imbattuta in questo super dubbio:

Il passato… è davvero esistito?

Costruzioni di un’antica civiltà, oppure…? (foto di Les Anderson da Unsplash)

Il passato non è qualcosa che esiste come esistono gli oggetti o le persone: il passato esiste nei nostri ricordi e nelle tracce che ha lasciato, come antiche costruzioni, resti fossili, vecchi libri e fotografie, eccetera. Ma se tutto questo avesse cominciato a esistere, per dire, giovedì scorso? Letteralmente tutto, comprese le nostre memorie: potrebbe essere comparso giovedì scorso.
È la teoria del Last Thursdayism (qualcosa come “ultimo giovedismo” in italiano). E non è confutabile: non puoi davvero dimostrare che sia falsa. Hai un libro pubblicato nel 1972? Hai una tua foto di dieci anni fa? Uno yogurt in frigo scaduto da due settimane? Tutto quanto, così com’è, potrebbe essere stato generato giovedì scorso.
E per quanto riguarda la memoria: un ricordo del passato, in effetti, è qualcosa che accade ora, nel presente, non nel passato a cui si riferisce, e l’esistenza di un ricordo non implica necessariamente che l’evento ricordato sia accaduto (lo dice Bertrand Russell in L’analisi della mente, Lezione IX – La memoria).

Bertrand Russell in un ritratto di Arturo Espinosa (CC BY 2.0)

Il Last Thursdayism è anche una presa per il culo delle convinzioni di certi creazionisti, secondo i quali dio ha creato la terra del tutto funzionante e con elementi complessi che possono apparire vecchi, ovvero frutto di un lungo processo di formazione o evoluzione, come le montagne e gli esseri umani.
Si tratta della omphalos hypothesis, la “teoria dell’ombelico” (omphalos in greco, navel o belly button in inglese): prende il nome dal libro Omphalos, del 1857, del naturalista inglese Philip Henry Gosse, che sostiene, tra le altre cose, che dio ha creato Adamo con l’ombelico perché l’ombelico è una parte essenziale della natura dell’uomo. Tra i creazionisti c’è chi, invece, ritiene che Adamo ed Eva non avessero l’ombelico, perché sono stati creati da adulti e non sono nati da una normale gravidanza. Philip Henry Gosse sostiene anche che i fossili non sono resti di antiche forme di vita, ma sono stati creati da dio insieme a tutto il resto, per dire.
A proposito di ombelico: tutti i mammiferi placentati hanno l’ombelico, anche se in molti animali è difficile da vedere perché coperto dal pelo. La forma dell’ombelico varia da persona a persona ed è determinata dal processo di cicatrizzazione dei tessuti dopo la recisione del cordone ombelicale, dunque non costituisce un carattere genetico (lo dice Wikipedia: non sono convintissima perché ho una grossa percentuale di parentado con l’ombelico identico al mio. Forse ci sono elementi di contesto, determinati geneticamente, che influiscono in parte sulla forma che prende la cicatrice?).

L’ombelico di un gattino, ancora non del tutto cicatrizzato (foto presa da qui).

Ma torniamo alla omphalos hypothesis: se dio ha creato cose che, anche appena create, sembravano antiche, di conseguenza non c’è niente che possiamo considerare una prova attendibile dell’età della terra. Dunque non hanno alcun valore le numerose e diverse prove scientifiche che stimano un’età di 4,5 miliardi di anni, e la terra potrebbe avere solo poche migliaia di anni, coerentemente con i testi biblici. Ma allora, chi ci dice che la creazione non risalga a giovedì scorso, o a cinque minuti fa?
Bertrand Russell ne parla nel libro e capitolo sopra citato:

There is no logical impossibility in the hypothesis that the world sprang into being five minutes ago

Curiosità: ho scoperto il Last Thursdayism grazie a un vecchio video di Vsauce pubblicato il 6 febbraio 2015 (o generato giovedì scorso, insieme a tutto il resto, ma con una data antecedente? Chissà!), video in cui tra l’altro accenna alla macchina di Anticitera, di cui avevo parlato qui, conservata al Museo archeologico nazionale di Atene. Poi ho cercato il Last Thursdayism su Google Trends: c’è un enorme picco nelle ricerche, proprio nel febbraio 2015. Vsauce smuove orde di googlatori!

Vsauce e la macchina di Anticitera. Screenshot da YouTube.

Ma torniamo al Last Thursdayism.
Tuttavia, se abbiamo tonnellate di tracce di eventi passati, antiche civiltà, ere geologiche, e quant’altro: non sarà più probabile che, in effetti, il passato sia davvero esistito? L’ipotesi che la terra abbia circa 4,5 miliardi di anni e che in questo arco di tempo siano accadute un fracco di cose è più semplice e più lineare da spiegare rispetto all’ipotesi della creazione di giovedì scorso, e dunque la prima è da preferire alla seconda, sulla base del rasoio di Occam. C’è poi la “fiammeggiante spada laser di Newton” (Newton’s flaming laser sword), che è un altro “rasoio” filosofico, nel senso di principio metodologico o regola generale, di buon senso, che aiuta a escludere spiegazioni improbabili. Per chi avesse pensato subito a Star Wars, precisiamo che la mitica arma di Jedi e Sith è generalmente chiamata lightsaber (tipo “sciabola di luce”) ma a volte anche laser sword. Comunque, il principio della fiammeggiante spada laser di Newton può essere riassunto così: se non può essere sottoposto a esperimento, non vale la pena di discuterne. Sir Isaac Newton non lo ha mai detto, così come probabilmente non ha mai impugnato una spada laser: è opera del matematico australiano Mike Alder, che ha chiamato il suo principio in onore di Newton perché si basa sul pensiero newtoniano. Per le questioni che non possono essere (volevo usare il verbo “dirimere” ma… manca del participio passato!), diciamo, risolte con un esperimento, è inutile dibattere se siano vere o false, cercare di dimostrarle o di confutarle, semplicemente non è il caso di parlarne. Questa spada è insomma un’arma più potente del vecchio rasoio di Occam, perché permette di “tagliar via” più cose – tra cui la creazione di giovedì scorso: non possiamo dimostrarla con un vero esperimento scientifico, e allora non c’è niente da dire.

L’augurio di Newton (da Nonciclopedia, CC-BY-SA 3.0)

Immagine in evidenza: foto di Anete Lūsiņa da Unsplash, modificata da Wellentheorie.

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Il pianeta dove scomparivano le cose

E rieccomi, dopo oltre un mese di silenzio blog: sono stata super impegnata a prendermi l’influenza, guarire dall’influenza, insegnare grammatica italiana alla gente, tentare di imparare il linguaggio SQL, innamorarmi come una quattordicenne, leggere libri, e numerose altre cose che non sto a raccontarvi.

Per il 2014 Francesco si era sfidato a leggere 52 libri in un anno, uno a settimana. Ho deciso di provarci anch’io, quest’anno, così ho cominciato ad annotare i libri letti. Per ora ci sono quasi riuscita a leggere un libro a settimana, però ho barato: erano libri brevi, e alcuni illustrati. Ad esempio ho letto Il pianeta dove scomparivano le cose di Roberto Casati e Achille Varzi. Si finisce in un attimo, ed è davvero molto carino.

Contiene dodici brevissime storie illustrate che affrontano, in modo molto semplice, grandi quesiti filosofici, problemi logici, paradossi. Dànno simpatici spunti di riflessione.

È pensato per un pubblico di qualunque età: per un adulto è una lettura piacevole, per un bambino potrebbe essere appassionante. Su aNobii ci sono commenti di genitori che hanno letto questo libro ai figli e lo consigliano caldamente (descrivono bambini entusiasti, che chiedono di leggerlo e rileggerlo).

Della percezione dei colori (e del video di Vsauce “Is Your Red The Same as My Red?”) avevo parlato qui.

Altri racconti illustrati fanno riferimento al paradosso del barbiere (chi rade il barbiere?) e al paradosso della nave di Teseo (se per riparare un oggetto sostituisco una sua parte rotta o consumata con una parte nuova, e continuo nel tempo a sostituire parti finché non rimane niente dell’oggetto originale, quell’oggetto è ancora lo stesso oggetto? E noi, siamo le stesse persone che eravamo per esempio dieci anni fa?). Di questi e altri simpatici paradossi avevo parlato qui.

Una delle storie riguarda il concetto di infinito: un personaggio comincia a fare un mucchio di sassi, ma come creare un mucchio di sassi che sia davvero infinito e non solamente tanto tanto grande? Insomma, quanto è grande l’infinito? Come si può raggiungere? Si può raggiungere davvero? Vi lascio con queste domande, e già che ci siamo anche con questa, su cui rifletteva Gabriele un po’ di tempo fa.

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Tutte le immagini di questo post sono fotografie scattate da Wellentheorie al libro “Il pianeta dove scomparivano le cose. Esercizi di immaginazione filosofica” di Roberto Casati e Achille Varzi, 2006, Giulio Einaudi editore, e sono qui condivise a fini non commerciali per scopi culturali, di divulgazione scientifica, di informazione e di cronaca. Wellentheorie non ha ovviamente alcuna proprietà intellettuale del contenuto del libro, che appartiene ai suoi autori, illustratori, editori, eccetera eccetera.

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Cavalieri, furfanti e normali

L’anno nuovo è appena cominciato, e torna il tradizionale appuntamento* con i wellen-enigmi. Avevo parlato qui di Raymond Smullyan e dei suoi indovinelli di logica che hanno per protagonisti cavalieri e furfanti. Una variante di questo problema riguarda tre tipi di persone: cavalieri, che dicono sempre la verità; furfanti, che mentono sempre; e persone normali, che talvolta mentono e talvolta dicono la verità. Inoltre, in questa particolare isola, i furfanti sono detti di rango inferiore, i normali di rango medio e i cavalieri di rango superiore.

*Se c’è un appuntamento, è tradizionale. (Per analoghe frasi fatte, vedi qui).

Le soluzioni sono in fondo al post, dopo la prossima vignetta della Settimana Enigmistica.

1 Ci sono tre persone, A, B, C, una delle quali è un cavaliere, una un furfante, e una un normale (ma non necessariamente in questo ordine).
A dice: «Io sono un normale.»
B: «È vero.»
C: «Io non sono un normale.»
Cosa sono A, B e C?

2 Due persone, A e B, ognuna delle quali è o un cavaliere, o un furfante o un normale, fanno le seguenti affermazioni:
A: «Io sono di rango inferiore a B.»
B: «Non è vero!»
Si può determinare il rango di A e di B? Si può determinare se queste affermazioni sono vere o false?

3 Ci sono tre persone, A, B, C, una delle quali è un cavaliere, una un furfante, e una un normale.
A: «B è di rango superiore a C.»
B: «C è di rango superiore ad A.»
Quindi viene chiesto a C: «Chi è di rango più alto, A o B?»
Cosa risponde C?

L’isola di Bahava
Sull’isola di Bahava anche le donne sono cavalieri, furfanti e normali. Per la legge, un cavaliere può sposare soltanto un furfante e un furfante può sposare soltanto un cavaliere. Un normale può sposare soltanto un normale. In tal modo qualsiasi coppia sposata sarà composta o da due normali, oppure da un cavaliere e da un furfante.

4 Il signor e la signora A sono una coppia sposata. Fanno le seguenti affermazioni:
Sig. A: «Mia moglie non è un normale.»
Sig.ra A: «Mio marito non è un normale.»
Cosa sono il signor e la signora A?

5 Se invece avessero detto:
Sig. A: «Mia moglie è un normale.»
Sig.ra A: «Mio marito è un normale.»
La soluzione sarebbe diversa?

6 Ci sono due coppie sposate: il Sig. e la Sig.ra A, e il Sig. e la Sig.ra B. Tre di loro fanno le seguenti dichiarazioni:
Sig. A: «Il Sig. B è un cavaliere.»
Sig.ra A: «Mio marito ha ragione; il Sig. B è un cavaliere.»
Sig.ra B: «È vero. Mio marito è proprio un cavaliere.»
Cosa sono le quattro persone intervistate, e quali delle tre affermazioni sono vere?

Soluzioni

1 A = furfante
B = normale
C = cavaliere
Spiegazione: Le affermazioni di A e B non si contraddicono: devono essere entrambe vere o entrambe false, di conseguenza A e B non possono essere un cavaliere e un furfante: uno di loro dev’essere un normale. Se A è normale, B dice la verità, dunque è un cavaliere. Rimane un furfante: dovrebbe essere C, ma allora la sua affermazione è vera, e i furfanti non possono dire la verità.
Dunque B deve essere il normale. Siccome nel gruppo c’è solo un normale, C sta dicendo la verità: è un cavaliere. Rimane A, che è un furfante, e infatti sta mentendo quando afferma di essere normale.

2 L’unica soluzione possibile è che A e B siano entrambi normali. L’affermazione di A è falsa, e quella di B è vera.
Spiegazione: A non può essere un cavaliere, perché i cavalieri rappresentano il rango più alto, e mentirebbe affermando di essere di un rango inferiore.
Se A è un furfante, deve mentire: l’unico modo in cui la sua affermazione possa risultare falsa, è che anche B sia un furfante, ma in questo caso l’affermazione di B risulterebbe vera, allora non potrebbe essere un furfante. (Comunque, le due affermazioni di A e B si contraddicono: non possono essere entrambe false, dunque A e B non possono essere entrambi furfanti).
A deve essere un normale: se la sua affermazione fosse vera, B sarebbe un cavaliere: ma starebbe negando la verità, e non è possibile. L’affermazione di A dev’essere falsa: in realtà A deve essere di rango superiore o uguale a B. Se l’affermazione di A è falsa, quando B dice che non è vera, B sta dicendo la verità. (Okay, è complicato, ma una negazione del falso è una verità. Esempio più semplice: A, mentendo, afferma: «2+2=5». B risponde: «Non è vero!». È evidente che B ha contraddetto un’affermazione falsa, dunque ha detto la verità). Dunque, l’affermazione di B è vera. Allora B non può essere un furfante. Abbiamo già spiegato che B non può essere un cavaliere, dunque B può essere solo un normale, e la sua affermazione è vera (è vero che “«A è di rango inferiore a B» è falso”: A e B sono entrambi normali, nessuno è di rango superiore all’altro).

3 C risponde che B è di rango superiore ad A.
Ci sono due scenari possibili:
A = cavaliere
B = normale (sta mentendo)
C = furfante
Oppure:
A = furfante
B = normale (dice la verità)
C = cavaliere
In ogni caso, B è un normale. C, indipendentemente dal fatto che sia cavaliere o furfante, risponde che B è di rango superiore ad A.
Spiegazione: Prima di tutto, consideriamo le possibilità che riguardano A e dimostriamo che C non può essere un normale: Se A è un cavaliere, B è davvero di rango superiore a C, dunque B è un normale e C è un furfante. Se invece A è un furfante, in realtà B è di rango inferiore a C, dunque B è normale e C è un cavaliere. Se A è un normale, sia che dica la verità sia che menta, ne segue che C non è un normale (perché c’è solo un normale tra i tre personaggi). In ogni caso, C non è un normale. Se B è un cavaliere, C è davvero di rango superiore ad A, dunque C è un normale e A un furfante – ma abbiamo appena dimostrato che C non può essere un normale, inoltre in questo scenario A è un furfante, dunque la sua affermazione dovrebbe necessariamente essere falsa, e invece si rivela vera perché B (cavaliere) è davvero di rango superiore a C (normale). Se invece B è un furfante, C è in realtà di rango inferiore ad A, dunque C è un normale e A è un cavaliere – di nuovo, C non può essere un normale, inoltre l’affermazione di A dovrebbe essere vera e invece risulta falsa perché B (furfante) non è di rango superiore a C (normale). L’unica possibilità rimasta è che B sia un normale: dunque la sua affermazione potrebbe essere o vera o falsa. Intanto sappiamo che né A né C sono normali: uno di loro è un cavaliere e l’altro è un furfante. Se A è un cavaliere, C è un furfante: risponderebbe alla domanda («Chi è di rango più alto, A o B?») mentendo, dunque direbbe B. Se A è un furfante, C è un cavaliere e darebbe una risposta sincera alla domanda, dicendo B.

4 Il signor e la signora A sono entrambi normali (e hanno mentito entrambi).
Spiegazione: La regola è che qualsiasi coppia sposata è composta o da due normali, oppure da un cavaliere e da un furfante. Se il signore A e la signora A fossero un cavaliere e un furfante, entrambe queste loro affermazioni risulterebbero vere: non è possibile che un furfante dica la verità. L’alternativa è che siano entrambi normali.

5 No, la soluzione sarebbe la stessa: il signor e la signora A sono entrambi normali (ma questa volta hanno detto la verità entrambi).
Spiegazione: Anche questa volta non è possibile che il signore A e la signora A siano una coppia cavaliere-furfante perché, in quel caso, entrambe le affermazioni risulterebbero false, e i cavalieri non possono mentire.

6 Tutti e quattro sono normali, e tutte le affermazioni sono false.
Spiegazione: Il signore A e la signora A affermano entrambi che il signor B è un cavaliere: due affermazioni non contraddittorie non possono essere una vera e una falsa, dunque il signore A e la signora A non possono essere cavaliere e furfante: devono essere due normali. Se dicono la verità, il signor B è davvero un cavaliere: in questo caso sua moglie dovrebbe essere un furfante, ma starebbe dicendo la verità, e non è possibile. Allora il signor B non è un cavaliere, e la signora B sta mentendo: se mente, potrebbe essere un furfante, ma allora il marito dovrebbe essere davvero un cavaliere, e allora non starebbe mentendo. Dunque anche la signora B è normale, e anche suo marito. E tutte e tre le affermazioni sono false.

La fonte degli enigmi (scaricabile, ad esempio, qui):

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Le due vignette sono fotografie scattate da Wellentheorie a La Settimana Enigmistica, e Wellentheorie non ne detiene alcuna proprietà intellettuale, che appartiene ai rispettivi autori, illustratori, editori, eccetera.

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Raymond Smullyan, cavalieri e furfanti

Dopo il grande successo (?) dell’enigma dei tre interruttori e l’enigma dei prigionieri nella sabbia, continuo con i wellen-enigmi, e vi presento Raymond Smullyan:

Raymond Smullyan

Raymond Smullyan è un matematico, logico, pianista, filosofo taoista e prestigiatore statunitense.
Nato a New York nel 1919, iniziò a suonare il pianoforte a tre anni. Presto sua madre si accorse che il figlio aveva l’orecchio assoluto. Anni dopo, fu costretto ad abbandonare lo strumento a causa di una grave tendinite al braccio destro: “ciò però gli permise di approfondire i suoi studi di matematica”. Mentre faceva il college, “si sostentava economicamente grazie alla sua attività di prestigiatore”.

Ha scritto cose molto importanti sul teorema d’incompletezza di Gödel, ed è autore di molti libri di matematica e logica ricreativa, il più noto dei quali si intitola Qual è il titolo di questo libro?.

Cavalieri e furfanti

Una tipologia celebre di indovinelli logici di Raymond Smullyan ha come ambientazione un’isola immaginaria in cui tutti gli abitanti sono o cavalieri (Knights), che dicono sempre la verità, o furfanti (Knaves), che mentono sempre. Gli enigmi contengono un visitatore che incontra piccoli gruppi di abitanti, e deve dedurre dalle loro affermazioni se si tratta di cavalieri o furfanti (cioè di che “tipo” sono), oppure deve dedurre altri fatti o formulare domande per scoprire determinate informazioni.

Un primo esempio di questo tipo di indovinelli coinvolge tre abitanti: A, B e C. Il visitatore chiede ad A di che tipo sia, ma A borbotta qualcosa che il visitatore non riesce a capire.
B allora dice: «A ha detto di essere un furfante».
Il terzo uomo, C, dice: «Non credere a B: sta mentendo!»
Che cosa sono A, B e C?

Una tristissima vignetta della Settimana Enigmistica al solo scopo di guadagnare tempo prima della soluzione.

Soluzione


Per arrivare alla soluzione, si può considerare prima di tutto che nessun abitante dell’isola può affermare di essere un furfante (se fosse un furfante, mentirebbe e non ammetterebbe mai di esserlo; se invece fosse un cavaliere non potrebbe mai mentire affermando di essere un furfante). Quindi A non può avere detto di essere un furfante: l’affermazione di B è falsa, di conseguenza B è un furfante, mentre C ha detto la verità e allora C è un cavaliere. A ha sicuramente detto di essere un cavaliere, ma in questo caso ci è impossibile stabilire se dicesse la verità o no.
(Questa cosa ricorda molto il paradosso del mentitore, di cui avevo parlato qui.)
È utile tenere presente anche che due affermazioni contraddittorie non possono essere entrambe vere, né entrambe false.

Di seguito cinque esempi di questo tipo di indovinelli: in ogni enigma ci sono due o tre persone, ognuna delle quali può essere o un cavaliere o un furfante.
Metto le soluzioni in fondo al post (sono molto schematiche: se volete ulteriori spiegazioni, o vi sembrano sbagliate, o volete dare inizio a un vivace dibattito, scrivete pure un commento qui sotto oppure una mail a wellentheorie chiocciola gmail punto com).

1
Ci sono due persone, A e B.
A dice: «Almeno uno di noi è un furfante».
Cosa sono A e B?

2
Ci sono tre persone, A, B, C.
A e B fanno le seguenti affermazioni:
A: «Siamo tutti furfanti».
B: «Solo uno di noi è un cavaliere».
Cosa sono A, B e C?

3
Ci sono tre persone, A, B, C.
A: «B è un furfante».
B: «A e C sono dello stesso tipo».
Cos’è C?

4
Ancora tre persone, A, B e C.
A dice: «B e C sono dello stesso tipo».
Qualcuno allora chiede a C: «A e B sono dello stesso tipo?»
Cosa risponde C?

5
Visitiate l’isola dei cavalieri e dei furfanti. Vi imbattete in due abitanti.
Voi chiedete a uno di essi se l’altro è un cavaliere e ricevete come risposta un sì o un no.
Poi chiedete al secondo se il primo è un cavaliere e di nuovo ottenete come risposta un sì o un no.
Le due risposte sono necessariamente uguali?

Soluzioni

1
A = cavaliere
B = furfante

2
A = furfante
B = cavaliere
C = furfante

3
C è un furfante.
Riguardo A e B, le possibilità sono due: A è un cavaliere e B è un furfante, oppure viceversa A è un furfante e B è un cavaliere. È impossibile stabilire quale delle due affermazioni sia vera e quale falsa. In ogni caso, C è un furfante.

4
C risponde sicuramente “sì”.
Riguardo a quale “tipo” appartengano A, B e C, ci sono quattro possibilità:

A = cavaliere
B = cavaliere
C = cavaliere

A = cavaliere
B = furfante
C = furfante

A = furfante
B = cavaliere
C = furfante

A = furfante
B = furfante
C = cavaliere

5
Sì, le due risposte saranno uguali.
Se i due abitanti sono entrambi cavalieri, o se sono entrambi furfanti, risponderanno entrambi “sì”.
Se il primo è un cavaliere e il secondo è un furfante, o viceversa il primo è un furfante e il secondo è un cavaliere, risponderanno entrambi “no”.

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Le due vignette sono fotografie scattate da Wellentheorie a La Settimana Enigmistica. La foto di Raymond Smullyan è presa a caso da internet e ora non ne ritrovo più la fonte né l’autore. Come sempre, le immagini di questo post sono qui condivise a fini non commerciali per scopi culturali, di divulgazione scientifica, di informazione e di cronaca, e Wellentheorie non ne detiene alcuna proprietà intellettuale, che appartiene ai rispettivi autori, fotografi, illustratori, editori, eccetera.

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L’enigma dei tre interruttori e l’enigma dei prigionieri nella sabbia

Oggi vi propongo del divertimento sfrenato per il vostro sabato sera: due appassionanti indovinelli di logica. For real party people only.

(Foto di Jonny Caspari da Unsplash).

 

L’enigma della lampadina e dei tre interruttori

In una prima stanza, c’è una normale lampadina. Nella seconda stanza, ci sono tre interruttori. Solo uno dei tre interruttori accende la lampadina.
La prima stanza non è assolutamente visibile dalla seconda stanza (niente spiraglio di luce sotto la porta o cose simili).

Puoi azionare i tre interruttori a tuo piacimento, ma puoi andare nella prima stanza soltanto una volta per verificare lo stato della lampadina. Come puoi individuare l’interruttore in grado di accenderla?

Le condizioni iniziali sono:
• lampadina spenta
• tutti gli interruttori in posizione off.

 

Una simpatica vignetta (di Irk Works, che non sembra avere un sito ancora attivo).

Soluzione:

Per prima cosa, possiamo mettere due interruttori su on, lasciando il terzo su off. Ora, se la lampadina fosse ancora spenta, sapremmo subito che l’interruttore giusto è il terzo. Se invece fosse accesa, potremmo escludere il terzo interruttore, ma non potremmo distinguere tra i primi due.
La soluzione consiste nell’accendere due interruttori (diciamo i numeri 1 e 2), attendere qualche minuto e poi spegnere uno dei due (diciamo il numero 2). Ora possiamo andare a controllare la lampadina.
Se l’interruttore giusto fosse il numero 2, come potremmo determinare che la lampadina, ora spenta, prima è stata accesa? Risposta: le lampadine accese si scaldano.

Quindi:
• la lampadina è accesa: l’interruttore giusto è il numero 1 (l’unico interruttore che è rimasto acceso).
• la lampadina è spenta, ma calda: l’interruttore giusto è il numero 2 (l’interruttore che è stato acceso e poi spento).
• la lampadina è spenta e fredda: l’interruttore giusto è il numero 3 (l’unico interruttore che è sempre rimasto spento).

L’enigma dei prigionieri nella sabbia

Quattro uomini sono stati catturati e sepolti nella sabbia fino al mento, in modo che sporga solo la testa. Sono disposti in fila, uno davanti all’altro, e il quarto è separato rispetto agli altri da un muro. Non possono muoversi, né voltarsi per vedere alle proprie spalle: possono guardare solo dritto davanti a sé. Come nel disegno qui sotto, sono tutti girati in direzione della freccia:
• il prigioniero A vede B e C,
• B vede C,
• C vede solo il muro,
• D non vede nessuno.
Inoltre, comunicare tra loro è proibito.

Il carceriere mette un cappello sulla testa di ciascun prigioniero e spiega: “Ognuno di voi quattro indossa un cappello. Due di essi sono bianchi, due sono neri.
Se uno di voi sa dirmi qual è il colore del proprio cappello, verrete tutti liberati. Se chi parla dà la risposta sbagliata, verrete tutti giustiziati.”

La domanda è: quale dei prigionieri può trovare la risposta giusta, e perché?

Ulteriori chiarimenti e indizi:

• Ovviamente i prigionieri non sono in grado di vedere il proprio cappello, e non hanno visto i cappelli mentre il carceriere glieli metteva in testa. Inoltre non possono vedere oltre il muro.
• I prigionieri non possono parlare tra loro, non possono dire né chiedere niente al carceriere. È concesso aprire bocca soltanto per dare la risposta.
• Bisogna assumere che i prigionieri siano persone razionali, di normale intelligenza, lucidi, e privi di istinti suicidi.
• Siccome la risposta sbagliata condurrebbe alla morte tutti e quattro, nessun prigioniero parla se non è sicuro al 100% che la risposta sia giusta.
• Esiste un modo, per uno dei prigionieri, di determinare con certezza quale sia il colore del proprio cappello.

Potete immaginarvi il carceriere come uno stormtrooper, per esempio (foto di Daniel Cheung da Unsplash).

Soluzione:

Il prigioniero A può vedere due cappelli davanti a sé: uno nero e uno bianco. Di conseguenza A non può determinare il proprio colore, perché ha il 50% di probabilità di avere il restante cappello nero e 50 di avere quello bianco (in questo senso, si trova nella stessa condizione di C e D).
Il prigioniero B sa che A, alle proprie spalle, può vedere i cappelli B e C. Sa che A potrebbe facilmente dedurre il colore del proprio cappello, per esclusione, se vedesse davanti a sé due cappelli dello stesso colore. Ma se A non dice niente, significa che non conosce la risposta perché vede due cappelli di colore diverso. Dal silenzio di A, B può dedurre che il colore del proprio cappello è l’opposto di quello di C.

Il prigioniero oltre il muro è in realtà irrilevante per la risoluzione del problema: il suo unico scopo è indossare il quarto cappello.

In un’altra versione dell’enigma, non vengono mostrati i colori dei cappelli, e la domanda è: indipendentemente da come il carceriere ha disposto i capelli, in che modo i prigionieri possono trovare la soluzione giusta e quindi essere liberi? La risposta è semplicemente che il prigioniero A può capire il proprio colore se vede due cappelli uguali davanti a sé; in caso contrario A rimane in silenzio e di conseguenza B può capire che il suo colore è diverso da quello di C.

Questo enigma ha una pagina nella Wikipedia inglese in cui vengono illustrate anche diverse varianti.

Siete riusciti a risolverli? Conoscete altri appassionanti indovinelli di logica? Odiate gli indovinelli di logica? Fatemi sapere.

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#38 the pinocchio paradox

Il meraviglioso mondo dei paradossi. Di seguito un breve excursus sui miei paradossi preferiti.

Il più antico dei paradossi è probabilmente quello di Epimenide, un cretese vissuto nel VI secolo a.C. che disse: “Tutti i cretesi sono bugiardi”. In realtà non è un vero paradosso: se l’affermazione è falsa, e quindi Epimenide sta mentendo, la verità è che “non tutti i cretesi sono bugiardi”. Nessuna contraddizione, quindi. Semplicemente, Epimenide sarebbe uno dei cretesi bugiardi.
Eubulide di Mileto ha invece riformulato l’affermazione in modo da renderla un vero paradosso: “io sto mentendo”, cioè “questa frase è falsa”.
Si dice che ‪Fileta di Coo‬, tormentato dal paradosso del mentitore, smise di dormire la notte e ne morì. I paradossi possono essere molto pericolosi.

Un’altra riformulazione interessante del paradosso del mentitore è quella di Jean Buridan, che immagina una situazione con due protagonisti, Socrate e Platone, ognuno dei quali pronuncia una sola frase. Socrate dice “Platone dice il falso”, mentre Platone dice “Socrate dice il vero”.
Non è neanche necessario tirare in causa due personaggi. Infatti Philip Jourdain riformulò il paradosso così: “la frase seguente è falsa” e “la frase precedente è vera”. Persino una campagna pubblicitaria di un antidolorifico contro il mal di testa ha usato qualche anno fa questo paradosso:

Una possibile soluzione a questo tipo di paradossi consiste nell’evitare la confusione tra “uso” e “menzione”. Una parola (o frase) viene usata quando si riferisce a un oggetto (o persona o concetto astratto ecc.), mentre una parola viene menzionata quando si riferisce ai suoi grafemi o fonemi.
Un esempio, che io trovo super divertente, è il sillogismo latino “Mus syllaba est. Syllaba autem caseum non rodit. Ergo mus caseum non rodit.” che si potrebbe trasportare in italiano così: “Topo è un sostantivo. I sostantivi non mangiano il formaggio. Dunque i topi non mangiano il formaggio.” E anche: “Mus syllaba est. Mus caseum rodit. Ergo syllaba caseum rodit.”
Più in generale, bisognerebbe evitare la metalinguistica, cioè usare la lingua per parlare della lingua stessa. È una possibilità prevista da tutte le lingue naturali, ed è normalmente molto utile: ci permette ad esempio di chiedere il significato di una parola che ignoriamo oppure di spiegare che cosa vogliamo intendere con una particolare espressione. Insomma, l’attività metalinguistica è molto frequente e fondamentale per la comunicazione, ma può dare problemi con la logica.

Il paradosso del barbiere è stato formulato da Bertrand Russell nel 1918:
“In un villaggio vi è un solo barbiere, un uomo ben sbarbato, che rade tutti e soli gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Il barbiere rade se stesso?”
L’intera popolazione maschile del villaggio può quindi essere suddivisa in due insiemi:
1. gli uomini che si radono da soli, e quindi non si fanno radere dal barbiere;
2. gli uomini che non si radono da soli, e si fanno radere dal barbiere.
Il problema è: a quale insieme appartiene il barbiere?
Alcune possibili soluzioni sono escluse dalla formulazione: il barbiere potrebbe abitare in un altro villaggio, potrebbe lasciarsi crescere la barba, potrebbe essere una donna, ci potrebbe essere un altro barbiere nel villaggio,… Certo la domanda che sorge spontanea è: perché mai un barbiere dovrebbe sottostare a questa bizzarra regola? Ma soprattutto: nessun uomo con la barba lunga in un intero villaggio? Ma dove siamo?

Il paradosso del nonno è un paradosso sul viaggio nel tempo: se un nipote torna indietro nel tempo e uccide suo nonno prima che incontri sua nonna, il nipote non sarebbe mai potuto nascere, dunque non avrebbe mai potuto viaggiare nel tempo ed uccidere il nonno.
(Però il paradosso non funziona se consideriamo che l’intervento del nipote nel passato produce conseguenze soltanto in un universo parallelo.)

Il paradosso del sorite (dalla parola greca che significa “mucchio”) è un paradosso attribuito al filosofo greco Eubulide di Mileto:
“Dato un mucchio di sabbia, se eliminiamo un granello dal mucchio avremo ancora un mucchio. Eliminiamo poi un altro granello: è ancora un mucchio. Eliminiamo ancora un granello, e poi ancora uno: il mucchio diventerà sempre più piccolo, finché rimarrà un solo granello di sabbia. È ancora un mucchio, quando rimane un solo granello? E se un solo granello non è un mucchio, allora in quale momento quel mucchio iniziale non è più un mucchio?”

Si può anche descrivere così:
Premessa 1: Un milione di granelli di sabbia è un mucchio di sabbia.
Premessa 2: Un mucchio di sabbia meno un granello di sabbia è ancora un mucchio.
Se accettiamo entrambe le premesse, l’asportazione di un granello può essere ripetuta un milione di volte (o almeno 999999 volte) senza che ciò che rimane smetta di essere un mucchio.

Questo discorso si può applicare a una gran varietà di cose, ad esempio alla morte dell’individuo: tutte le parti di un organismo non muoiono nello stesso istante, quindi in quale preciso momento un individuo si può definire morto?

Un paradosso analogo è quello della nave di Teseo:
“Si narra che la nave in legno sulla quale viaggiò il mitico eroe greco Teseo fosse conservata intatta nel corso degli anni, sostituendone le parti che via via si deterioravano. Giunse quindi un momento in cui tutte le parti usate in origine per costruirla erano state sostituite, benché la nave stessa conservasse esattamente la sua forma originaria.”
Quella nave è ancora la nave di Teseo?
Anche questo ragionamento si può applicare a un’infinità di cose, ad esempio i Nomadi: sono ancora i Nomadi, nonostante i componenti siano cambiati tutti (e più volte) tranne uno? O al contrario: i New Order sono un gruppo diverso dai Joy Division anche se la formazione rimane invariata a parte Ian Curtis? Be’, in questo caso la risposta è “sì, assolutamente” ma era comunque una questione che volevo sollevare.

E infine, il paradosso di Pinocchio, che pare essere molto diffuso su internet ma io l’ho scoperto adesso. Pinocchio dice: “il mio naso adesso si allungherà.”
Premettendo che: il naso si allunga ogni volta che Pinocchio dice una bugia, il naso si allunga immediatamente dopo la bugia, Pinocchio non ha detto bugie subito prima, il naso non ha limiti di lunghezza,… Ora: il naso gli si allunga o no?

Il problema è la definizione di bugia: significa mentire intenzionalmente o anche affermare qualcosa che è falso?
Prima ipotesi: Pinocchio dice che il suo naso si allungherà ed è convinto che il naso si allungherà. Non sta mentendo, quindi il naso non si allunga, indipendentemente dal fatto che l’affermazione sia falsa. E non c’è nessun paradosso.
Seconda ipotesi: indipendentemente dalle credenze e dalle intenzioni di Pinocchio, Pinocchio fa un’affermazione che può rivelarsi vera o falsa. Se è falsa, si tratta di una bugia: di conseguenza il naso dovrebbe allungarsi, e questo renderebbe vera l’affermazione. Se è vera, non si tratta di una bugia, quindi il naso non si allunga… Ma se le cose stessero così, Pinocchio sarebbe completamente onnisciente: gli basterebbe dire una cosa qualunque per verificare, in base all’eventuale crescita del naso, se è vera o no. Alcuni esempi: con questo investimento farò un sacco di soldi; domenica prossima ci sarà uno splendido sole; esistono forme di vita extraterrestri; Montague John Druitt è Jack lo squartatore (il naso si allunga? Ripetere la frase con ognuno dei sospettati); eccetera.
Se la seconda ipotesi è vera, Pinocchio potrebbe dire: “o il mio naso crescerà adesso oppure diventerò un bambino vero!” Logicamente l’unica soluzione possibile dovrebbe essere che Pinocchio viene davvero trasformato in bambino vero. Ma non so se ho capito bene il ragionamento.

Un famoso “paradosso” è il quadro di René Magritte che raffigura una pipa insieme alla scritta “questa non è una pipa”. In realtà vuole far riflettere sulla differenza tra un oggetto e la rappresentazione di un oggetto. Ma questa risposta è molto più divertente: “Questa È una pipa, artistoide ritardato!!” (fonte).